Vanhojen Pulma-tehtävien lähteitä
TEK 3/2024 -lehdessä julkaistujen Pulmien, Sudokun ja Divisium-3:n ratkaisut
Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala, Divisium-3: Vesa Timonen
PULMA 1
Ongelma: Olkoon n kokonaisluku, joka on vähintään 4. Piirrämme yksikköympyrän sisälle n yhtenevää yksikköympyrän kaarta kuten oheisessa kuvassa, jossa on kuvattu tapaus n = 7. Mikä onkaan tummennetun alueen ala?
Ratkaisu: Yhden kaaren keskuskulma on 360/n astetta, joten yhden segmentin ala on
Eli kysytty ala on
PULMA 2
Ongelma: Suorakulmion sivujen pituudet ja pinta-ala ovat erään aritmeettisen jonon kolme peräkkäistä jäsentä. Lisäksi ne ovat kokonaislukuja. Määritä mahdolliset sivujen pituudet ja ala.
Ratkaisu: Jos jokin sivu on pituudeltaan nolla, on myös suorakulmion ala nolla, jolloin myös toinen sivu on nolla.
Oletetaan nyt, että sivujen pituudet ovat positiivisia (sillä ne eivät voi olla negatiivisia). Jos sivut ovat a ja b, niin tulo ab on vähintään yhtä suuri kuin max{a,b}.
Jos siis jono on h-d, h, h+d, niin h+d on ala. Tulee siis olla h(h-d) = h+d. Koska kaikki luvut ovat kokonaislukuja, niin h jakaa luvun d. Kirjoitetaan d = ah ja sijoitetaan lausekkeeseen h(h-ah) = h+ah, joten h-ah = 1+a, eli h-ah-a-1 = (h+1)(1-a) = 2. Koska h on suorakulmion sivu, sen täytyy olla positiivinen. Siispä h+1 on vähintään 2, joten h+1 = 2 ja 1-a = 1. Saadaan h=1 ja a=0. Saadaan ainoaksi mahdollisuudeksi yksikköneliö.
PULMA 3
Ongelma: Lindalla on rakennuspalikoita ja kolme laatikkoa, joissa säilyttää niitä. Ensimmäiseen hän laittaa kolme seitsemäsosaa palikoistaan, toiseen jonkin positiivisen määrän viidesosia jäljellä olevista palikoista, ja kolmanteen loput 572 palikkaa. Kuinka monta palikkaa hänellä on yhteensä?
Ratkaisu: Olkoon hänen palikoidensa kokonaismäärä N. Ensimmäiseen laatikkoon hän siis laittaa 3N/7 palikkaa. Toiseen laatikkoon hän laittaa 4N/7·k/5 palikkaa, missä k on jokin luvuista 1, 2, 3 ja 4. Lopuksi, kolmanteen laatikkoon päätyvät loput 4N/7·(5–k)/5 = 572 palikkaa. Koska 572 on lukujen 4, 11 ja 13 tulo, on N·(5–k) = 5·7·11·13. Erotus 5-k on jokin luvuista 1, 2, 3 ja 4, ja oikean puolen tekijä. Tämä on mahdollista vain ja ainoastaan, jos 5-k = 1, eli k=4, joten N = 5·7·11·13 = 5 005.
PULMA 4
Ongelma: Meillä on 2 024 punnusta, joiden painot ovat 2 024 pienintä positiivista Fibonaccin lukua
Jokainen paino on väritetty vihreällä, sinisellä, punaisella tai violetilla. Onko mahdollista, että eri värein väritetyt punnukset painaisivat yhtä paljon?
Ratkaisu: Jos vastaus olisi kyllä, niin olisi
Mutta Fibonaccin luvuille pätee
ja
joten
Fibonaccin lukujen jakojäännökset neljällä jaettaessa ovat 1, 1, 2, 3, 1, 0, ja nämä toistavat itseään. Siten luvun
jakojäännös neljällä jaettaessa on 2, eli kyseessä ei ole neljällä jaollinen luku. Siis vastaus kysymykseen on kielteinen.
SUDOKU
DIVISIUM-3
Nyt voit pelata Divisium-3-pulmapeliä myös verkossa: www.tek.fi/fi/uutiset-blogit/ratkaise-divisium-3
TEK 2/2024 -lehdessä julkaistujen Pulmien, Sudokun ja Divisium-3:n ratkaisut
Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala, Divisium-3: Vesa Timonen
PULMA 1
Ongelma: Olkoon k positiivinen kokonaisluku. Onko olemassa positiivista kokonaislukua N, jolle kertoma N! päättyy
nollaan?
Ratkaisu: Kun N on positiivinen kokonaisluku, de Polignacin kaava kertoo, että kertoman N! alkutekijähajotelmassa esiintyy
kappaletta mitä tahansa tiettyä alkulukua p. Jos luvun N! alkutekijähajotelmassa esiintyy a kappaletta alkulukua 2, ja b kappaletta alkulukua 5, niin kertoma N! päättyy luonnollisesti min{a,b} nollaan. Koska de Polignacin kaavan summa on vähenevä alkuluvun p kasvaessa, päättyy N! aina b nollaan. Toisaalta, voimme samalla todeta, että luvun N kasvaessa eksponentti b on myös kasvava.
Kertomassa
esiintyy lopussa
nollaa. Tämä on enemmän kuin toivottu nollien lukumäärä. Toisaalta, edellisessä kertomassa
esiintyy lopussa k+1 nollaa vähemmän, eli vähemmän kuin toivottu määrä nollia. Siten millään kertomalla ei esiinny toivottua määrää loppunollia.
PULMA 2
Ongelma: Olemme löytäneet söpön ruuvikäyrän, joka koostuu pisteistä (cos2πt, sin2πt, t), missä t käy läpi kaikki reaaliluvut. Onko olemassa tasasivuista kolmiota, jonka jokainen kärki olisi ruuvikäyrällämme?
Ratkaisu: Merkitkäämme jokaiselle reaaliluvulle t P(t) = (cos2πt, sin2πt, t), ja tarkastelkaamme kolmea pistettä P(-t), P(0) ja P(t), kun t kasvaa arvosta t=0 arvoon t=1/2. Symmetrian vuoksi pisteiden P(t) ja P(0) välinen etäisyys f(t) on yhtä suuri kuin pisteiden P(-t) ja P(0) välinen etäisyys. Lisäksi f(t) muuttuu jatkuvasti, kun t kasvaa arvosta 0 arvoon 1/2. Toisaalta pisteiden P(t) ja P(-t) välinen etäisyys g(t) muuttuu niin ikään jatkuvasti, kun t kasvaa arvosta 0 arvoon 1/2. Koska P(±1/4) = (0, ±1, ±1/4), ja P(±1/2) = (-1, 0, ±1/2), on
ja g(1/2)=1. Toisaalta,
ja
. Koska f(t) ja g(t) riippuvat jatkuvasti muuttujasta t, mutta niiden suuruusjärjestykset ovat vastakkaiset välin [1/4,1/2] päätepisteissä, täytyy olla olemassa reaaliluku t, jolle 1/4<t<1/2 ja f(t)=g(t). Tälle t ruuvikäyrämme pisteet P(-t), P(0) ja P(t) muodostavat kuin muodostavatkin tasasivuisen kolmion kärjet.
PULMA 3
Ongelma: Mikä on lukujen
keskinäinen suuruusjärjestys?
Ratkaisu: Lukuja voi vertailla mukavasti, jos ne kirjoittaa kahden potensseina:
Luvut olivat jo siis valmiiksi laskevassa suuruusjärjestyksessä, missä viimeiset kaksi lukua ovat yhtä suuret.
PULMA 4
Ongelma: Tarkastellaan oheista kuviota. Lähtökohtana on neliö, jonka sivun pituus on 8. Neliön jokaisesta kulmasta on poistettu suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat 1. Tämän jälkeen kärkipisteet on yhdistetty neliön keskustaan ja saadut ohuet kiilat on maalattu sinisiksi. Määritä sininen pinta-ala.
Ratkaisu: Alkuperäisen neliön pinta-ala on 64. Kulmista on poistettu yhteensä 2 yksikön verran. Kuviossa harmaana näkyvien kolmioiden kannat ovat 6 ja korkeudet 4. Niiden yhteenlaskettu ala on siis 48. Kiilojen ala on siis 64-2-48=14.
SUDOKU
DIVISIUM-3
Nyt voit pelata Divisium-3-pulmapeliä myös verkossa: www.tek.fi/fi/uutiset-blogit/ratkaise-divisium-3
