TEK 1/2023 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut
Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala
PULMA 1
Ongelma: Mestarietsivä ja hänen assistenttinsa ovat selvittäneet, että eräs salaovi aukeaa, kun tiettyjen erityispunnusten paino jaetaan tasan tietyn vaa'an kahteen kuppiin. Ankaran etsimisen jälkeen assistentti kertoi löytäneensä punnukset, joiden painot ovat 1, 2, 3, 6, 7 ja 8. Tähän suuri etsivä välittömästi vastasi, että heillä ei vielä ole kaikkia punnuksia. Onko hän jälleen kerran oikeassa?
Ratkaisu: Etsivä on jälleen oikeassa. Jos molemmat vaakakupit painavat saman verran, ja jos kaikkien punnusten painot ovat kokonaislukuja, niin kaikkien punnusten painojen summa on parillinen. Kuitenkin etsivien punnuksista kolmella on pariton paino, joten heidän löytämiensä punnusten painojen summa on pariton.
PULMA 2
Ongelma: Määritä kaikki sellaiset positiiviset kokonaisluvut a, joilla on olemassa suorakulmainen kolmio, jonka lyhin kateetti on a ja jonka hypotenuusa ja toinen kateetti ovat keskenään peräkkäisiä kokonaislukuja.
Ratkaisu: Jos a on halutunlainen luku, niin silloin Pythagoraan lauseen nojalla on olemassa positiivinen kokonaisluku x, jolle a^2+x^2=(x+1)^2, eli, pienen sievennyksen jälkeen, a^2=2x+1. Siten a^2 on pariton luku ja suurempi kuin 1, joten luvun a on oltava pariton ja suurempi kuin 1.
Toisaalta, jos a on pariton kokonaisluku ja suurempi kuin 1, niin valitsemalla x=(a^2-1)/2, on x positiivinen kokonaisluku, jolle x>a ja a^2+x^2=(x+1)^2, ja siis Pythagoraan lauseen nojalla a on halutunlainen luku. Toivotunlaisia lukuja a ovat siis täsmälleen parittomat positiiviset kokonaisluvut a>1.
PULMA 3
Ongelma: Kuutiosta, jonka särmän pituus on 4, leikataan nurkasta pois kuutio, jonka särmän pituus on 1. Voiko näin syntyvän kappaleen pilkkoa yhdeksään yhtenevään osaan?
Ratkaisu: Kappaleen voi pilkkoa yhdeksään osaan, joista jokainen on kuutio, jonka särmän pituus on 2, ja josta on leikattu nurkasta pois kuutio, jonka särmän pituus on 1. Voimme aloittaa yhdestä tällaisesta kappaleesta:
Lisäämällä tässä sopivasti jokaiseen nurkkaan samanlaisen kappaleen, saamme kahdeksasta tällaisesta kappaleesta koostuvan kappaleen, joka on kuutio, jonka särmä on 4, ja jonka nurkasta on leikattu pois kuutio, jonka särmä on 2:
Ja nyt olemmekin valmiita, kunhan vain lisäämme vielä yhden palikan ilmeisellä tavalla:
PULMA 4
Ongelma: Olkoot a(1), a(2), ..., a(10) luvut 1, 2, ..., 10 jossakin järjestyksessä. Mikä on summan
suurin mahdollinen arvo?
Ratkaisu: Koska luvut 1, 2, ..., 10 voi järjestää vain äärellisen moneen eri järjestykseen, on lausekkeella todellakin olemassa suurin mahdollinen arvo. Todetkaamme seuraavaksi, että jos joillekin kahdelle luvuista, sanokaamme luvuille a(i) ja a(j), missä i ja j ovat kokonaislukuja joukosta {1, 2, ..., 10} ja i<j, pätisi a(i)>a(j), niin silloin olisi
Siten olisi
eli lausekkeen arvoa voisi kasvattaa vaihtamalla luvut a(i) ja a(j) keskenään. Nyt voimme todeta, että lausekkeen suurin arvo voidaan saavuttaa vain ja ainoastaan silloin, kun luvuille a(1), a(2), ..., a(10) pätee a(1)<a(2)<...<a(10), eli silloin kun a(1)=1, a(2)=2, ..., a(10)=10. Lausekkeen arvo on tällöin
SUDOKU
TEK 5/2022 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut
Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala
PULMA 1
Ongelma: Piirrämme äärettömän jonon sisäkkäisiä sinisiä ja valkoisia neliöitä kuten oheisessa kuviossa. Pienemmän neliön kärjet ovat aina isomman neliön sivujen keskipisteissä. Jos isoimman neliön pinta-ala on yksi, niin kuinka suuri on valkoisen osuuden ala?
Ratkaisu: Pienemmän neliön ala on aina puolet isomman neliön alasta. Uloimpien valkoisten osien ala on siis 1/2-1/4. Vastaavasti koko valkoisen kuvion ala on
PULMA 2
Ongelma: Etsi kaikki reaalilukujen x, y ja z kolmikot, joille pätee
Ratkaisu: Laskemalla yhtälöt yhteen on
eli pienen järjestelyn jälkeen
Täten ainoa mahdollinen ratkaisu on x = y = z = -1. Toisaalta, tämä on kuin onkin ratkaisu, sillä (-1)^2 + (-1) + (-1) = 1 -1 -1 = -1.
PULMA 3
Ongelma: Eräänä kauniina liitukautisena päivänä pieni triceratops metsäpolkua tallustellessaan löytää kolmion muotoisen aukean, joka koostuu kuvan mukaisesti pienistä kolmioruuduista, joista jokaisessa asustaa herkullinen saniainen. Metsäpolku keskeytyy aukean ylimpään nurkkaan, ja jatkuu alimman rivin keskimmäisestä ruudusta. Triceratopsimme prioriteetit ovat kunnossa, joten hän suostuu kävelemään ruudusta jonkin sivun yli vain sellaiseen naapuriruutuun, jossa on vielä saniainen, jolla hän tietenkin heti herkuttelee. Kuinka monta saniaista triceratopsiltamme vähintään jää syömättä?
Ratkaisu: Kun väritämme pienet kolmiot punaisella ja valkealla seuraavan kuvan mukaisesti, syntyy 28 punaista kolmiota ja 21 valkeaa.
Koska pienen kolmion väri vaihtuu siirryttäessä yhdestä pienestä kolmiosta naapurikolmioon, ja koska ensimmäinen ja viimeinen ruutu ovat punaisia, voi triceratops käydä enintään 21 +22 = 43 ruudussa. Ruutuja on kaikkiaan 21 +28 = 49, joten häneltä jää syömättä vähintään 49 -43 = 6 saniaista. Toisaalta, valitsemalla reittinsä huolellisesti, hän tosiaan voi syödä 43 saniaista:
PULMA 4
Ongelma: Olkoot a, b, c ja d pareittain erisuuria positiivisia kokonaislukuja. Osoita, että
Ratkaisu: Symmetrian vuoksi voimme olettaa, että a < b < c < d. Väite pätee luvuille 1, 2, 3 ja 4, sillä
Seuraavaksi toteamme, että on helppo tarkistaa, että lausekkeen
määräämä funktio on aidosti kasvava positiivisille reaaliluvuille x, sillä onhan sen derivaatta 12 * x^2 +36 * x +2 aidosti positiivinen näillä x. Aivan samoin on lausekkeen x^3 -10 * x määräämä funktio aidosti kasvava, kun x on vähintään 2. Näiden avulla voimme todeta, että
mistä väite heti seuraakin.
SUDOKU
